笔记百科正整数集合:大于0的整数,包括从1开始的所有自然数.
整数集合：包括所有小于0的负整数、0、大于0的正整数.
自然数包括正整数和零。自然数是整数，但整数不全是自然数，例如：-1 -2 -3……是整数，而不是自然数。自然数是无限的。
0是不是自然数这个问题有争议，至少上百年了。我们结合这11篇文章，先看看各种反方和正方的观点和表述，再来了解一下现在的最新情况。
一、反方：0不是自然数。
1、一些数学史家：
通常情况下，自然数是在自然状态中数出来的。没文字前，原始人打猎、采苹果需要计数，先用石头表示，摘一个苹果放一块石头，慢慢演变出数字，1、2、3……，最初没有“0”。【1】
再后来，到公元600多年，印度数学家婆罗摩笈多才真正提出了的0的概念。不过，他之所以需要0，很大程度上是因为他需要把数扩展到负数，一旦扩展到负数，就不得不规定一个0作为正数和负数的分界点。
一种观点认为，0作为一个数字来使用，是跟随负数一起出现的，比正整数的使用要晚很多很多，所以0应该跟负整数站一队，而自然数应该只有正整数。【2】
2、皮亚诺（最初）：
他在1889年发表的《算术原理新方法》中提出了定义自然数的九个公理，史称皮亚诺公理：
（上图来自微信号：马同学图解数学）【3】
2、范因：
而在我国流传甚广的《范氏大代数》的第一编I，则明确提出：所谓“自然数”就是用符号1,2,3，…分别表示并被称之为“一”，“二”，“三”，…的数。【4】
3、一些数论学家
（顺藤摸瓜注：不除外是在探讨数论等问题时）：
而其他一些数学家，主要是数论学家，则依从传统把零拒之于自然数之外。《华罗庚文集》中就定义“自然数为，1、2、3、4……”。“【1】
数论学派，他们是不承认0是自然数的。譬如数论专家单墫教授的《趣味数论》就是如此。现在重印，为了符合目前中小学的规定，但编辑又要尊重单墫教授的原意，所以只能加注。
（上图来自微信号：彭翕成讲数学）【5】
4、格列本卡：
1949年中华人民共和国成立后，欧美的一些主要国家联合起来，对我国实行经济封锁。导致我国与原苏联订立“中苏友好互助同盟条约”，并且提出“向苏联学习”的口号。许多学科的教学大纲和教科书都是参照苏联的版本编译的。M·K格列本卡著高等学校教学用书《算术》P6中明确指出：数树上的苹果时，可能某一棵树上一个苹果也没有。这时我们就说这棵树上的苹果数目为0。0就是没有东西可以数。0作为一个数，不属于自然数。于是，“0不是自然数”的判断在中小学数学课程中广为传播。【6】
5、现代生活的少数地方：
现代生活中还有很多不承认0是最小自然数的现象，典型的就是中国的楼层编码，地面一层为1楼，往上就是2楼，3楼……，但是往下到地下层，就是-1，-2层了，0层是不存在的。这样的现象说明，即使已经承认和使用负数了，人们依然回避使用0，这个现象也发生在公元纪年方法上，“公元元年”实际上是公元1年，第二年就是公元2年了，公元元年前一年，就叫公元前1年，公元0年是不存在于历法里面的。【7】
二、正方：0是自然数。
1、皮亚诺与集合论：
皮亚诺最初规定自然数从1开始的，后来又规定自然数从0开始。这是为什么？其原因在于：自然数从1开始，算术公理体系将无法定义出0；如果定义不出0，则无法定义相反数，进而无法定义负整数；如果定义不出负整数，则无法通过加法的逆运算定义出减法。因此，如果没有0，自然数集合就不可能在公理化结构下扩张为整数集合。由此可见，0对于加法运算是非常重要的。【4】
张奠宙：0是自然数有许多理由。首先，人的经验是从无到有的。第二，书写的需要，没有0，写不出10、20……；第三，0的出现可以保证自然数集有单位元a+0=0+a=a。如果0不是自然数，5-5岂不是不能减了。大数学家冯若依曼用集合论的语言写自然数，第一个是空集?，用0表示，然后把以空集为元素的集合｛?｝叫做1。从文化的角度看，“有”也是从没有开始的。老子《道德经》说：“道生一，一生二，三生万物”。“一”是由“道”这种虚无的存在而产生的。——摘自唐彩斌《思想改变课堂》【9】
另一种观点则认为，从本质来看0和正整数更相似，而且在很多领域（如集合、逻辑以及计算机科学等）中，把0和正整数放在一起更方便。举个例子，集合里面0代表空集，一个集合可以是空的（有0个元素），也可以有1个、2个、3个……元素，但不能有负数个元素。【2】
3、逻辑：
逻辑学家继承了上述集合论的观点。【10】
4、计算机：
把“0作为自然数”这个概念传递给中小学生，应该和计算机发展有很大的关系。使用计算机编程时，需要用计算机语言写代码，计算机语言“二进制码”就是由两个基本字符“0”、“1”组成的代码，“0”在计算机中的重要性不言而喻。计算机科学家通常将“0”放在数字的第一位，方便编码及运算。“很多孩子从小学阶段开始学习计算编程，0作为自然数的概念变得更重要。”【1】
在计算机中，0和正整数采用的是同一种表示方法，而表示负整数则需要取反补码。【2】
5、群论：
如果自然数从1开始，结合上加法，那么满足封闭性和结合性，此时定义出来的自然数是一个半群。增加加法的单位元，此时定义出来的自然数是一个幺半群，自然数需要从0开始。增加加法的逆元，可以得到整数，这是一个完整的群。这大概是一部分数学家支持自然数包含0的主要原因。【3】
6、其他：
那么ISO为什么要修改自然数的定义？原因有三。首先，自然数是数学体系中最基础的概念，而0是10个基本计数符号之一。基本计数符号不包含在最基础的入门观念里，怎么都有点说不过去。其次，0在加法运算中具有不变性，而不变性是现代数学最重要的观念之一，有必要体现在任何数学概念里。最后，带余除法是自然数基本运算法则之一，如果没有0就无法完整解释带余除法。【11】
Vita哥哥也提供了他的一个观点，他说0和正数一样都可以开平方，而负数则不能开平方，除非借助i（虚数），所以0应该跟正数放在一起。【2】
三、经过专家们的多年讨论，目前支持“0是自然数”的观点总体上占上风，表现在：
1、ISO国际标准:
1992年，ISO发布了国际标准ISO31:1992，其中对数学标志与符号的写法和含义做出了明确的规定。
在这个标准中，对自然数N的定义是“自然数集，正整数和0的集（thesetofnaturalnumbers,thesetofpositiveintegersandzero）”，注释中还给出了例子：
（上图来自微信号：周花卷）【2】
2、中国国标：
我国为了实行对外开放便于国际交流，在科技与教育上和国际接轨，在1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》（GB3100-3102-93）《量和单位》（11-29）第311页，规定：自然数包括0。
1994年11月国家技术监督局发布的《中华人民共和国国家标准，物理科学和技术中使用的数学符号》中，将自然数集记为N={0,1,2,3……}。而将原来自然数集称为非0自然数集N+={1,2，3……}。【6】
3、小学课本：
我国教材以前一直都是遵循前苏联的说法，认为0不是自然数。2000年教育部召开教材改编会议时，已明确提出将0归为自然数。2000年之后，苏教版数学教材修订中，已经将0归为自然数了。2005年左右，我国各种版本的中小学教材都将0归入了自然数中。【1】
数学教育学家也认识到将0作为自然数的重要性，所以近年小学教科书也将0明确列为自然数了。然而，仅仅是一个考试知识点而已，课本并没有把为什么要把0作为自然数的理由说清楚，再实际的生活应用中，文化的惯性是巨大的，0被作为最小的序数这个意义上的自然数使用，还是不普及的，电梯的编码就是一个例子。
0属于自然数，这个并不是一个简单的规定，一个需要死记硬背的知识点，它是严谨的数学逻辑演绎的结果，也是数学应用优化的要求。【7】
参考文献：
1、《“0不是自然数”？那你不年轻了》，微信号：勤学；作者：蔡蕴琦
2、《数学|困扰多年的疑问：0到底是不是自然数？》，微信号：周花卷；作者：周花卷
3、《自然数到底是否包括「0」？》，微信号：马同学图解数学；作者：马同学
4、《为什么以前规定“0不是自然数”，现在又规定“0是自然数”？》，微信号：瑞雪玉凝；摘自《小学数学疑难问题研究》，金成梁编著
5、《0是不是自然数？—用数学的语言看世界》，微信号：彭翕成讲数学；作者：彭翕成
6、《为什么以前规定“0不是自然数”，现在又规定“0是自然数”？》，微信号：小数百草园；作者：倪健
7、《陈诗峰：刘秀阳寿问题—-谈0是否属于自然数》，微信号：君君文集；作者：陈诗峰
8、《阅读《数学思想18讲》读书笔记1》，微信号：数学人的精神乐园；作者：范改芳
9、《“0”为什么是自然数？》，微信号：数学加油站；作者：王旭程
10、《为什么自然数是0、1、2、3……这些，能不能有别的？》，微信号：哆嗒数学网；作者：哆嗒数学网
11、《0到底是不是自然数？》，微信号：闲着好歹也是闲着；作者：闲着也是闲着
