笔记百科极值点怎样求：全面解析极值的求法
在数学分析中，极值点的求解一个非常重要的内容，尤其在微积分和应用数学中也具有广泛的应用。极值点主要是指函数在某一点的取值相较于其邻近点的最大值或最小值。掌握求解极值点的技巧，有助于我们分析和领悟函数的性质以及在具体应用中的优化难题。这篇文章小编将围绕“极值点怎样求”这一主题，详尽分析极值的充分条件及其应用。
一、极值的基本概念
在一维函数中，若某函数 ( f(x) ) 在某点 ( x_0 ) 取得极大值或极小值，则称 ( x_0 ) 为极值点。具体定义为：
&8211; 若 ( f(x_0) ) 大于其在邻域内所有点的函数值，则称 ( f(x_0) ) 为极大值。
&8211; 若 ( f(x_0) ) 小于其在邻域内所有点的函数值，则称 ( f(x_0) ) 为极小值。
二、极值的求法
求解极值点通常有下面内容几许步骤：
1. 求导：求出函数 ( f(x) ) 的一阶导数 ( f'(x) )。
2. 找临界点：通过解方程 ( f'(x) = 0 ) 找出函数的临界点，这些点可能是极值点。
3. 第二导数检验：通过求第二阶导数 ( f(x) ) 来判断临界点的性质。
&8211; 如果 ( f(x_0) > 0 )，则 ( x_0 ) 为极小值点。
&8211; 如果 ( f(x_0) < 0 )，则 ( x_0 ) 为极大值点。 - 如果 ( f''(x_0) = 0 )，则需要使用更高阶导数进行进一步分析，这时就引入了极值的第三充分条件。 三、极值的充分条件根据微积分的学说，极值存在的充分条件通常有三条，下面详细阐述第三条充分条件。 第三充分条件设函数 ( f ) 在点 ( x_0 ) 的某邻域 ( U(x_0, δ) ) 内存在 ( n - 1 ) 阶导数，并且在 ( x_0 ) 处 ( n ) 阶可导，满足：- ( f^(k)(x_0) = 0 ) (对于 ( k = 1, 2, ..., n - 1 ))- ( f^(n)(x_0) neq 0 )则有下面内容：1. 当 ( n ) 为偶数时： - 如果 ( f^(n)(x_0) < 0 )，那么 ( f ) 在 ( x_0 ) 取得极大值。 - 如果 ( f^(n)(x_0) > 0 )，那么 ( f ) 在 ( x_0 ) 取得极小值。
2. 当 ( n ) 为奇数时，( f ) 在 ( x_0 ) 处不取得极值。
这一学说为我们提供了一种体系的方式去判断在高阶导数情况下，怎样确定极值点的性质。
四、极值点求解实例
为了加深领悟，下面我们通过具体例子来应用上述技巧。
示例：求函数 ( f(x) = x^4(x &8211; 1)^3 ) 的极值点及极值
我们将函数展开：
[ f(x) = x^7 &8211; 3x^6 + 3x^5 &8211; x^4 ]
Step 1：求导
我们计算一阶导数：
[ f'(x) = 7x^6 &8211; 18x^5 + 15x^4 &8211; 4x^3 = x^3(x &8211; 1)^2(7x &8211; 4) ]
令 ( f'(x) = 0 ) 可得临界点：
&8211; ( x = 0 )
&8211; ( x = 1 )
&8211; ( x = frac47 )
Step 2：判断第二阶导数
接下来，我们求第二阶导数：
[ f(x) = 42x^5 &8211; 90x^4 + 60x^3 &8211; 12x^2 ]
计算 ( f(0) )、( f(1) ) 和 ( fleft(frac47right) )：
&8211; ( f(0) = 0 )
&8211; ( f(1) = 0 )
&8211; ( fleft(frac47right) = frac6449 > 0 )
可以得出：( x = frac47 ) 为极小值点。
Step 3：高阶导数检查
接下来，我们需要检查 ( x = 0 ) 和 ( x = 1 )。
计算第三阶导数：
[ f'(x) = 210x^4 &8211; 360x^3 + 180x^2 &8211; 24x ]
&8211; ( f'(0) = 0 )
&8211; ( f'(1) = 6 )（非极值点）
计算第四阶导数：
[ f^(4)(x) = 840x^3 &8211; 1080x^2 + 360x &8211; 24 ]
&8211; ( f^(4)(0) = -24 < 0 )，得出 ( x = 0 ) 为极大值点。最后，函数在 ( x = 0 ) 处取得极大值 ( f(0) = 0 )，在 ( x = frac47 ) 处取得极小值 ( fleft(frac47right) = -frac6912823543 )。 五、拓展资料通过这篇文章小编将对“极值点怎样求”的分析，我们详细介绍了极值的基本概念、求解步骤及相关充分条件，尤其是着重讲解了第三充分条件的应用，并通过具体实例加以说明。掌握这些智慧后，可以帮助我们在以后的进修和生活中，更好地分析和解决与极值相关的数学难题，提高解决实际难题的能力。希望大家在今后的进修中不断操作，熟练掌握极值点的求解技巧！
