笔记百科什么叫正交矩阵？
正交矩阵是方块矩阵,行向量和列向量皆为正交的单位向量。
如果AAT=E（E为单位矩阵，AT表示“矩阵A的转置矩阵”）或ATA=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵 。正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是属于正规矩阵。尽管我们在这里只考虑实数矩阵，但这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵。
正交矩阵毕竟是从内积自然引出的，所以对于复数的矩阵这导致了归一要求。正交矩阵不一定是实矩阵。实正交矩阵（即该正交矩阵中所有元都是实数）可以看做是一种特殊的酉矩阵，但也存在一种复正交矩阵，这种复正交矩阵不是酉矩阵。
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定理：在矩阵论中，实数正交矩阵是方块矩阵Q，它的转置矩阵是它的逆矩阵，如果正交矩阵的行列式为+1，则称之为特殊正交矩阵。
方阵A正交的充要条件是A的行（列）向量组是单位正交向量组。
方阵A正交的充要条件是A的n个行（列）向量是n维向量空间的一组标准正交基。
A是正交矩阵的充要条件是：A的行向量组两两正交且都是单位向量。
A的列向量组也是正交单位向量组。
正交方阵是欧氏空间中标准正交基到标准正交基的过渡矩阵。
延伸阅读
正交矩阵是实数矩阵吗？正交矩阵是实对称矩阵吗？
不一定。实对称矩阵有可能是正交矩阵，但是不是所有的实对称阵都是正交矩阵。
这里的P是是对称矩阵，且刚好P的逆等于P的转置，所以P也是正交矩阵。这只是一种特殊情况。
正交矩阵定义：如果AAT=E（E为单位矩阵，AT表示“矩阵A的转置矩阵”）或ATA=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵 。正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是属于正规矩阵。
实对称矩阵定义：如果有n阶矩阵A，其矩阵的元素都为实数，且矩阵A的转置等于其本身（aij=aji）(i，j为元素的脚标），则称A为实对称矩阵。
主要性质：
1.实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。
2.实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。
3.n阶实对称矩阵A必可相似对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。
4.若A具有k重特征值λ0 必有k个线性无关的特征向量，或者说秩r(λ0E-A)必为n-k，其中E为单位矩阵。
5.实对称矩阵A一定可正交相似对角化。
正交矩阵的性质有哪些？
1、逆也是正交阵
对于一个正交矩阵来说，它的逆矩阵同样也是正交矩阵。
2、积也是正交阵
如果两个矩阵均为正交矩阵，那么它们的乘积也是正交矩阵。
3、行列式的值为正1或负1
任何正交矩阵的行列式是+1或1对于置换矩阵，行列式是+1还是1匹配置换是偶还是奇的标志，行列式是行的交替函数。
4、在复数上可以对角化
比行列式限制更强的是正交矩阵总可以是在复数上可对角化来展示特征值的完全的集合，它们全都必须有(复数)绝对值1。
一个正交矩阵是什么意思？
一个正交矩阵是指其转置等于逆的矩阵，假设A是一个n阶方阵，Aт是A的转置，如果有AтA=E（单位矩阵），则称A是正交矩阵。
正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是属于正规矩阵。正交矩阵不一定是实矩阵，实正交矩阵（即该正交矩阵中所有元都是实数）可以看做是一种特殊的酉矩阵，但也存在一种复正交矩阵，这种复正交矩阵不是酉矩阵
什么是正交矩阵？
正交矩阵是方块矩阵，行向量和列向量皆为正交的单位向量。
行向量皆为正交的单位向量，任意两行正交就是两行点乘结果为0，而因为是单位向量，所以任意行点乘自己结果为1。
对于3×3正交矩阵，每行是一个3维向量，两个3维向量正交的几何意义就是这两个向量相互垂直。
所以3×3正交矩阵的三行可以理解为一个3D坐标系里的三个坐标轴，下面是3＊3正交矩阵M，
x1，x2，x3，／／x轴y1，y2，y3，／／y轴z1，z2，z3，／／z轴
单位矩阵表示的三个坐标轴就是笛卡尔坐标系里的x，y，z轴：
1，0，0，／／x轴0，1，0，／／y轴0，0，1，／／z轴
一个向量乘以3×3正交矩阵的几何意义就是把这个向量从当前坐标系变换到这个矩阵所表示的坐标系里，比如下面的矩阵M1，
0，1，0，1，0，0，0，0，1，
一个向量（1，2，3）右乘这个矩阵M1得到新的向量（2，1，3），就是把原向量从原坐标系变换到一个新的坐标系。
新坐标系的x轴在原坐标系里是（0，1，0），即落在原坐标系的y轴上，
新坐标系就是把原坐标系的x和y轴对调，所以这个正交矩阵M1作用于向量（1，2，3）后把向量的x和y分量对调了。
正交矩阵的定义“行向量和列向量皆为正交的单位向量”带来了另一个好处：正交矩阵的转置就是正交矩阵的逆，比普通矩阵求逆矩阵简单多了。
下面解释一下为什么正交矩阵的转置就是正交矩阵的逆：
还是开头说的正交矩阵M：
x1，x2，x3，／／rowxy1，y2，y3，／／rowyz1，z2，z3，／／rowz
每行都是单位长度向量，所以每行点乘自己的结果为1。
任意两行正交就是两行点乘结果为0。
矩阵M的转置矩阵MT是：
x1，y1，z1，x2，y2，z2，x3，y3，z3，
两个矩阵相乘Mmul＝M＊MT：
rowx＊rowx，rowx＊rowy，rowx＊rowz，rowy＊rowx，rowy＊rowy，rowy＊rowz，rowz＊rowx，rowz＊rowy，rowz＊rowz，
点乘自己结果为1，点乘别的行结果为0，所以Mmul等于单位矩阵
1，0，0，0，1，0，0，0，1，
逆矩阵的定义就是逆矩阵乘以原矩阵等于单位矩阵，所以，
正交矩阵的转置就是正交矩阵的逆。
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正交矩阵定义：
如果：AA＇＝E（E为单位矩阵，A＇表示“矩阵A的转置矩阵”．）或A′A＝E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵，若A为单位正交阵，则满足以下条件：1）A是正交矩阵。
判断是正交矩阵的方法：
一般就是用定义来验证，若AA’ = I,则A为正交矩阵，也就是验证每一行(或列)向量的模是否为1
任意两行(或列)的内积是否为0。
何谓正交矩阵？它有哪些性质？
如果：AA’=E（E为单位矩阵，A’表示“矩阵A的转置”。）则n阶实矩阵A称为正交矩阵性质：
1. 方阵A正交的充要条件是A的行（列) 向量组是单位正交向量组；
2. 方阵A正交的充要条件是A的n个行（列)向量是n维向量空间的一组标准正交基；
3. A是正交矩阵的充要条件是：A的行向量组两两正交且都是单位向量；
4. A的列向量组也是正交单位向量组。
